引论 数学分析这门课的基础是 实数系的定义与性质，工科学生的高等数学课本往往没有这部分更基础的内容，而是从极限的定义或者数列开始。只有更深入地理解实数的性质，才能真正掌握极限这个既抽象又需要高度严谨性的概念。 实数的特殊之处 回顾我们从小到大学习数学的经历，可以发现我们所已知的「数」的范畴，是逐渐扩张与复杂化的。从幼儿园掰着指头数的$1,2,3$（自然数集 $N$), 到小学认识了分数...

集合的记号 通常用大写字母来表示集合，例如$A, B, C, …,X,Y,Z$； 用小写字母表示集合中的元素，例如 $a,b,c,…x,y,z$. 我们使用$x \in S$ 这个特殊的记号来表示“$x$是集合$S$中的一个元素”、“$x$属于$S$” 。 如果$x$不属于$S$, 记为$x \notin S$。我们还可以把元素放在花括号中来表示集合，例如小于10的所有 正偶数集可记...

积分学的历史背景 阿基米德 (公元前287-212年) 的穷竭法演变成了今天的积分学。阿基米德曾用穷竭法求出圆的面积。 如图是穷竭法的举例，用内接多边形近似半圆的面积。 用穷竭法求抛物线下的面积 如图I.3所示，由抛物线$y = x^2$ 和两条直线$y=0, x= b$ 围成的图形称为一个抛物线段 (parabolic segment) , 其面积设为A, 被一个底边长为b...

线性方程组的几何意义 线性方程组就是多元一次方程组，一般形式的线性方程组如下： [\hspace{-1em} \left{ \begin{array}{} a_{11}x_1\hspace{-.5em} & +\hspace{.5em}a_{12}x_2 & +\hspace{.5em}\cdots\hspace{-.5em} & +\hspace{.5em}a_...

三次握手 connect(<描述符>，<服务器IP地址和端口号>，...) 三次握手的本质是确认通信双方收发数据的能力。 第一次握手，服务器确认了：客户端的发送能力和服务器的接收能力； 第二次握手，客户端确认了通信双方的收发能力，此时客户端套接字中连接状态改为ESTABLISHED； 第三次握手，服务器也确认了自己的...

7 CPU (中央处理器） 程序是一条条指令组成的；内存中既可以存放数据，也可以存放指令。 ​ 指令表：前4位是操作码，后4位是内存地址或寄存器，表示数据来自哪里。 ​ 解码阶段(Decode Phase)：指令由控制单元内的逻辑电路进行解码 执行：把检查指令的电路输出连到RAM的RE线，把指令后4位发送到地址线，读出数据到寄存器A ​ 加载数据到A后指...

Morse利用继电器的原理发明了电报，实现了人类世界范围内长距离的、即时的通讯 —— 《Code》 晶体管(transistor) 有两个电极，中间用半导体隔开，控制线连到“门”电极，通过改变“门”的电荷来控制半导体的导电性。 如今计算机里的晶体管小于50纳米，作为对比，一张纸的厚度大约是10万纳米。 很多晶体管和半导体的开发在“圣克拉拉谷”（S...

基变换 不同视角下的同一个线性变换 特征值与特征向量

向量的叉积又称向量积/外积/矢积（区别于向量的点积/内积/标积） 叉积的标准介绍 可以把二维向量的叉积定义为一个标量，表示两向量所围成平行四边形的有向面积。 叉积的正负由基向量$\hat{i} \times \hat{j} = +1$ 定义，运算符X左边的向量居右时为正。 则单位基向量之间的叉积运算有以下结果：$ \hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \tim...

向量的点积又称数量积、内积。点积有两种定义方式：代数方式和几何方式。 向量的点积既可以由向量坐标的代数运算得出，也可以引入向量的长度和夹角的几何概念来求解。 二维向量的点积 $a \cdot b = x_1x_2 + y_1y_2 = | a | | b |\cos{\theta}$ 无论根据哪一种定义都容易证明点积运算满足交换律、分配律和结合律。 下面证明两个定义的等价性。 从几何定...