1.6 把面积的概念定义为集合函数 从纯数学的角度看，当我们给平面区域指定一个非负实数作为面积，我们就有了一个面积函数$a$, 因为平面区域是点的集合， 面积函数的自变量是集合 (点集$S$)，定义域就是集合的集合 (所有可计算面积的点集的集合)，函数值就是实数$a(S)$. 像这样，定义域是集合的集合 (collection of sets)且函数值是实数的函数，称为集合函数 (set ...

本章我们介绍积分的定义和积分的一些基本性质。为了理解定义我们必须先熟悉函数的概念。下面几节将专门解释函数的概念及其有关思想。 1.1 解析几何的基本概念 如前所述，积分的一个应用是面积的计算。通常我们不讨论面积本身，而是讨论某些东西的面积。我们有一些想要测量其面积的对象 (多边形区域，圆形区域，抛物线弓形等等). 如果我们希望得到不同类型对象的面积计算方法，我们首先必须找到一个有效的方...

I 4.1 用数学归纳法证明的一个例子 当我们对整数$k$ 加1时总能得到更大的整数$k+1$, 所以不存在最大的整数。然而从数$1$开始，连续地通过有限个加1的步骤，每步从$k$ 到$k+1$, 我们可以取得任意大的正整数。这就是被数学家称为归纳证法 (proof by induction) 的一类推理的基础。我们通过第1节中计算抛物线弓形面 (parabolic segment) 的...

Chapter1 信息可视化 Visualizing Information 直方图(Histogram) 不同于条形图(Bar Chart)，长方形之间不能有间隙，一是因为需要覆盖所有数值，二是区间宽度可以反映所覆盖数值范围的大小。 直方图的长方形面积代表每组的频率，长方形的高度用于度量一个特定组的频率的集中程度。 \(\begin{align} 频率密度 &= 频率/ ...

I 3.6 整数和有理数 实数集$R$ 的某些子集具有区别于其他实数的特殊性质。本节讨论整数集和有理数集这两个子集。 我们从数1开始引入正整数。数1的存在性由域公理4所保证。数 $1+1$ 用 $2$ 表示，数 $2+1$ 用 $3$ 表示，数 $3+1$ 用 $4$ 表示 $\cdots$ 以此类推。通过这种重复加1的方法得到的数$1,2,3 \cdots$ 全都是正的，称为正整数。严格...

I 3.4 序公理 这组公理在实数中建立了次序，使我们能断言一个实数比另一个实数大还是小。我们通过一组关于“正数性”概念的公理来引入次序性质，根据正数性定义“大于”或“小于”这样一些术语。 假定有一个称为正数集合的子集 $R^{+}\subset R$ , 满足以下三条序公理： 公理7   如果 $x$ 和 $y$ 在$R^{+}$ 中，则$x+y$ 和 $xy$ 也在$R^{+}$ 中...

I 3.1 实数公理系统的意义 利用有理数构造实数的工作完成之后，我们就可以反过来，看能不能先定义实数，再把有理数、整数等概念当成「特殊情况」来处理。这样可以把实数集从繁杂的构造理论中解脱出来，让我们更好的把握实数集的性质。1899 年，Hilbert（1862-1943）提出了实数公理系统，直接用「数」这个概念对实数集进行了定义。「数」可看成是存在着四则运算和序关系的集合中的元素。实数公...

引论 数学分析这门课的基础是 实数系的定义与性质，工科学生的高等数学课本往往没有这部分更基础的内容，而是从极限的定义或者数列开始。只有更深入地理解实数的性质，才能真正掌握极限这个既抽象又需要高度严谨性的概念。 实数的特殊之处 回顾我们从小到大学习数学的经历，可以发现我们所已知的「数」的范畴，是逐渐扩张与复杂化的。从幼儿园掰着指头数的$1,2,3$（自然数集 $N$), 到小学认识了分数...

集合的记号 通常用大写字母来表示集合，例如$A, B, C, …,X,Y,Z$； 用小写字母表示集合中的元素，例如 $a,b,c,…x,y,z$. 我们使用$x \in S$ 这个特殊的记号来表示“$x$是集合$S$中的一个元素”、“$x$属于$S$” 。 如果$x$不属于$S$, 记为$x \notin S$。我们还可以把元素放在花括号中来表示集合，例如小于10的所有 正偶数集可记...

积分学的历史背景 阿基米德 (公元前287-212年) 的穷竭法演变成了今天的积分学。阿基米德曾用穷竭法求出圆的面积。 如图是穷竭法的举例，用内接多边形近似半圆的面积。 用穷竭法求抛物线下的面积 如图I.3所示，由抛物线$y = x^2$ 和两条直线$y=0, x= b$ 围成的图形称为一个抛物线段 (parabolic segment) , 其面积设为A, 被一个底边长为b...