线性方程组的几何意义
线性方程组就是多元一次方程组，一般形式的线性方程组如下：
\[\hspace{-1em} \left\{ \begin{array}{} a_{11}x_1\hspace{-.5em} & +\hspace{.5em}a_{12}x_2 & +\hspace{.5em}\cdots\hspace{-.5em} & +\hspace{.5em}a_{1n}x_n & =\hspace{.5em}b_1 \\ a_{21}x_1\hspace{-.5em} & +\hspace{.5em}a_{22}x_2 & +\hspace{.5em}\cdots\hspace{-.5em} & +\hspace{.5em}a_{2n}x_n & =\hspace{.5em}b_2 \\ \vdots\hspace{-1em}& \hspace{1.8em}\vdots & \quad & \hspace{1.8em}\vdots\hspace{-.5em} & \hspace{1.5em}\vdots\\ a_{m1}x_1\hspace{-.5em} & +\hspace{.5em}a_{m2}x_2 & +\hspace{.5em}\cdots\hspace{-.5em} & +\hspace{.5em}a_{mn}x_n & =\hspace{.5em}b_m \end{array} \right.\]这个方程组是由m个n元一次方程组成的。 从解析几何的角度，一个二元一次方程可表示为一条直线，三元一次方程表示一个平面，n元一次方程 ($n > 3$) 表示$n$维空间中的一个$n-1$ 维超平面。每个方程的解都在其对应的直线、平面或超平面上，那么同时满足几个方程的解就在直线的交点、平面或超平面的交线上。 为了引入向量和矩阵这个更有效率的工具解决线性方程组问题，需要引入向量方程和矩阵方程两种表述方式。向量方程从向量的角度研究线性方程组，如果把未知数系数和常数项看成列向量：
\[\hspace{-1em} a_1 = \left( \begin{array}{} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{array}\right),\, a_2 = \left( \begin{array}{} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{n2} \end{array}\right),\,\cdots\, a_n = \left( \begin{array}{} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{nn} \end{array}\right),\, b = \left( \begin{array}{} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array}\right)\]原线性方程组改写为向量方程组： $ x_1a_1 + x_2a_2 + \cdots x_na_n = b$
从向量组的线性相关性来看，求解向量方程的意义就是求出向量 $b$ 被向量组 ${a_1,a_2,\cdots a_n}$ 线性表示的系数，向量方程是否有解等价于向量 $b$ 能否被 ${a_1,a_2,\cdots a_n}$ 所线性表示。方程组有唯一解等价于线性表示系数是唯一的，方程组有无穷多解等价于线性表示系数不是唯一的。用线性表示的几何意义来解释就是，如果向量 $b$ 在系数矩阵的列空间里，那么方程组有解。
矩阵方程 进一步从矩阵和线性变换的角度研究方程组，对于向量方程
\(x_1a_1 + x_2a_2 + \cdots x_na_n = (a_1,a_2,\cdots a_n) {\left( \begin{array}{} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right)}= b\quad\)分别定义矩阵
\(A = (a_1,a_2,\cdots a_n) , \mathrm{定义向量}x = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}\) , 那么线性方程组可以改写为
矩阵方程 $Ax = b$
高斯消元
用消元法解线性方程组，过程相当于把方程组的系数矩阵A化为上三角矩阵U,
即把对角线下方的系数通过初等行变换 (行向量倍乘和相减) 化为0，相当于
消去方程中的未知数。消元的目的是从最后一行开始”回代“，从下往上依次解
出未知数$x_n,x_{n-1},\cdots x_1$。举个例子：