Elements of Set Theory C2 公理与运算

1.12 阶梯函数积分的定义 本节我们介绍阶梯函数的积分. 构造出的定义将使得非负阶梯函数的积分与它的纵标集的面积相等. 令$s$是定义在$[a,b]$上的阶梯函数，令$P={x_0, x_1,\cdots x_{n-1},x_n}$ 是$[a,b]$的一个划分，使得$s$在$[a,b]$的每个开子区间上都为常数，把$s$在第$k$个开子区间上取得的常值记为$s_k$ , 从而有 [s...

1.16 更一般函数的积分 当$s$是阶梯函数时，我们已经定义了积分$\int_a^b s(x)\ dx$ , 这一节我们将定义更一般函数$f$的积分. 定义构造出来的积分将具有阶梯函数积分的所有性质 (见$1.13$节). 这个定义方法某种程度上是在模仿之前基础篇$I 1.3$提到的阿基米德穷竭法. 简单来说它的思想是这样的：用阶梯函数从下面和从上面逼近函数$f$ (如图$1...

1.20 单调函数与分段单调函数 如果对集合$S$中$x<y$的每一对点$x$和$y$，都有$f(x) \le f(y)$ ，则称函数$f$在$S$ 上是递增的. 如果对$S$ 中所有$x\lt y$，严格不等式$f(x) \lt f(y)$ 成立，则称函数$f$在$S$上是严格递增的. 类似地，如果对$S$中所有$x\lt y$ 都有$f(x)\ge f(y)$ , 则称函数...