2.1 导言
在$1.18$节中我们把非负函数纵标集的面积表示为一个积分. 在这章中我们将指出更一般区域的面积也能用积分来表示. 我们还将进一步讨论积分在体积、功和平均值等概念上的应用. 然后在本章的最后，我们将研究由积分所定义的函数的性质.
2.2 把两函数图形之间区域的面积表示为积分
对于$[a,b]$上所有$x$，如果两个函数$f$与$g$ 由不等式$f(x) \le g(x) $ 所关联，就记为在$[a,b]$上$f\le g$. 图$2.1$展示了两个例子. 如果在$[a,b]$上有$f\le g$ ，则由满足不等式 \(f(x) \le y \le g(x), \quad a \le x \le b\) 的所有点$(x,y)$ 组成的集合$S$ 被称为$f$和$g$之间的图形之间的区域. 下面的定理告诉我们如何把$S$的面积表示为一个积分.
定理2.1 假设$f$和$g$在$[a,b]$上可积且满足$f \le g$ ，则两个图形之间的面积是可测的，且面积由积分
\[a(S) = \int_a^b [g(x) - f(x)] dx\]给出.
证明： 先假设$f$和$g$都是非负函数，如图$2.1(a)$ 所示. 令$F$ 和$G$表示以下集合：
\[F=\{(x,y)\ |\ a \le x \le b,\ 0 \le y \lt f(x) \} \quad G=\{(x,y)\ |\ a \le x \le b,\ 0 \le y \le g(x)\}\]也就是说， $G$是$g$的纵标集，$F$是$f$的纵标集减去$f$的图形. $f$和$g$的图形之间的区域$S$是这两点集之差$S = G - F$. 根据定理I.10和定理I.11 ，$F$和$G$都是可测的. 因为$F \subseteq G$ ，根据面积公理的可减性 ，差集$S=G-F$ 也是可测的, 且面积等于两纵标集面积之差，即两非负函数积分之差，于是我们有
\[a(S) = a(G-F) = a(G)-a(F) = \int_a^b g(x)\ dx - \int_a^b f(x)\ dx = \int_a^b [g(x)-f(x)]\ dx\]这就证明了当$f$和$g$ 都非负时定理$2.1$ 是成立的.
现在考虑一般的情况：在$[a,b]$ 上有 $f \le g $ 但$f$和$g$ 不一定都是非负的，图$2.1(b)$ 所示就是一例. 只要将该区域向上滑动至$x$轴以上，我们就可以把这个情形简化为图$2.1(a)$的情况. 也就是说，我们选择一个足够大的正数$c$ 以确保$ 0 \le f(x)+c \le g(x)+c$ 在$[a,b]$ 上成立. 根据刚才已证明的结论，$f+c$ 和 $g+c$ 图形之间的新区域$T$ 也是可测的，且面积由积分
\[a(T) = \int_a^b [g(x)+c]\ dx - \int_a^b [f(x)+c]\ dx = \int_a^b [g(x)-f(x)]\ dx\]给出. 因为$T$是通过平移$S$得到，所以$T$和$S$是全等的，根据面积公理之全等不变性, 平移前的区域 $S$ 也是可测的，且有
\[a(S) = a(T) = \int_a^b [g(x)-f(x)]\ dx\]这就完成了证明. $#$
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$\boldsymbol{a} = []$