三维空间中的直线方程
在平面解析几何中，直线方程是形如$ax+by+c=0$ 的二元一次方程。然而
在三维空间中一次方程表示的却是一个平面，例如$x - y = 0$ 表示的是垂直于
xOy平面且相交于直线 $y=x$ 的平面，方程 $y = 0$ 表示的则是xOz平面。
一个方程无法表示空间中的直线，三维空间中的直线需要用两个平面方程联立来表示：
\[\left\{ \begin{matrix} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{matrix}\right.\]设L是空间中一条直线，L过给定点$P_0=(x_0, y_0, z_0)$ 且平行于给定非零向量$\vec{V}= a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}$
在直线L上取一点$P=(x, y, z)$ 则 $P$在直线L上 $\iff$ $\overrightarrow{PP_0}$ 是$\overrightarrow{V}$ 的倍数
即 $\exist \,t \in \mathbb{R},\,s.t. \overrightarrow{P_0P} = t \overrightarrow{V} \quad (1)$
记$\ \overrightarrow{R} = \overrightarrow{OP},\,\overrightarrow{R_0} = \overrightarrow{OP_0}$， 则$\overrightarrow{P_0P}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OP_0}=\overrightarrow{R}-\overrightarrow{R_0}$
$\therefore\(\overrightarrow{R}=\overrightarrow{R_0}+t\overrightarrow{V} \quad (2)$ 即$x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}=x_0\vec{i}+y_0\vec{j}+z_0\vec{k} + t(a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k})$ 等式两边的权重系数相等：\) \begin{align} x &= x_0+at
y &= y_0+bt \tag{3}
z &= z_0+ct \end{align} $$ 这就是过点$(x_0, y_0,z_0)$且平行于向量$(a,b,c)$的直线L的参数方程。
注意一条直线的参数方程是不唯一的，$x_0,y_0,z_0$可以替换为直线L上
任何一点的坐标，$a,b,c$ 也可替换为任何平行于L的非零向量的坐标。
这些参数方程描述的同一条直线，从这个意义上看是等价的。
参数方程消去t即可得到三维空间直线L的对称式方程：
如果（4）中作为分母的常数$a,b,c$ 有任何一个为0，那相应的分子也为0。
这不难从参数方程（3）中看出，例如当 $a=0$ 时 $x=x_0$