基数 (可理解为集合的大小，size of sets) 这个概念常常让初学者产生困惑. 在现代数学尤其是数学分析中，基数的概念很重要. 基数的定义 设$A$和$B$为集合. 如果存在双射函数$f:A\to B$ ，我们就说$A$和$B$有相同的基数 (cardinality) 或$A$与$B$ 是等势的(equinumerous). 我们把与$A$有相同基数的所有集合的等价类记为$|...

等价关系与等价类的直观解释 等价关系就像是一个“相似性”的规则，用来判断两个东西是不是“差不多”。如果两个东西满足这个规则，我们就说它们是“等价”的。而等价类就是把所有“差不多”的东西放在一起，组成的一个小组。 等价关系与等价类是一种“分类”和“分组”的思想方法。日常生活中的例子：如果两个水果是同一种类，我们就说它们是“等价”的。比如，所有苹果都是等价的，所有香蕉都是等价的。把所有苹果放...

Question: 什么情况下两个集合$A$和$B$的大小相同？ Answer: 如果两个集合中的元素可以一一配对，则两集合的的大小相同。(Theory of Cardinality By Cantor) 举个例子来理解：假设你是一个对数字完全没有概念的原始人，你有一群猪和一群羊，但还没学会数数，如何判断猪和羊的数量是否相等呢？把猪全部赶进一个圈子(集合A)，再把羊全刚进另一个圈...

证明包含正整数(自然数)的命题，一个常见的方法是数学归纳法。 按照自然方式排序 ($1<2<3<4<\cdots$) 的自然数集 (正整数集) 具有所谓“良序”的性质。 正整数集$S \subset N$ 存在一个最小元，意味着存在正整数$x \in S$ , 使得对每个$y \in S$ 都有 $x \le y$ . 良序原理 (well ordering pri...

子集的定义 (subsets) $(i)$ 如果$x \in A \implies x \in B$ 我们说A是$B$ 的子集，记为 $A \subseteq B$. 也就是说，$A$的所有成员也都是$B$ 的成员. 同样的包含关系也可以记为 $B \supseteq A$. $(ii)$ 集合相等的定义：如果$A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$ ，我...

2.1 导言 在$1.18$节中我们把非负函数纵标集的面积表示为一个积分. 在这章中我们将指出更一般区域的面积也能用积分来表示. 我们还将进一步讨论积分在体积、功和平均值等概念上的应用. 然后在本章的最后，我们将研究由积分所定义的函数的性质. 2.2 把两函数图形之间区域的面积表示为积分 对于$[a,b]$上所有$x$，如果两个函数$f$与$g$ 由不等式$f(x) \le g(x) ...

1.20 单调函数与分段单调函数 如果对集合$S$中$x<y$的每一对点$x$和$y$，都有$f(x) \le f(y)$ ，则称函数$f$在$S$ 上是递增的. 如果对$S$ 中所有$x\lt y$，严格不等式$f(x) \lt f(y)$ 成立，则称函数$f$在$S$上是严格递增的. 类似地，如果对$S$中所有$x\lt y$ 都有$f(x)\ge f(y)$ , 则称函数...

1.16 更一般函数的积分 当$s$是阶梯函数时，我们已经定义了积分$\int_a^b s(x)\ dx$ , 这一节我们将定义更一般函数$f$的积分. 定义构造出来的积分将具有阶梯函数积分的所有性质 (见$1.13$节). 这个定义方法某种程度上是在模仿之前基础篇$I 1.3$提到的阿基米德穷竭法. 简单来说它的思想是这样的：用阶梯函数从下面和从上面逼近函数$f$ (如图$1...

1.12 阶梯函数积分的定义 本节我们介绍阶梯函数的积分. 构造出的定义将使得非负阶梯函数的积分与它的纵标集的面积相等. 令$s$是定义在$[a,b]$上的阶梯函数，令$P={x_0, x_1,\cdots x_{n-1},x_n}$ 是$[a,b]$的一个划分，使得$s$在$[a,b]$的每个开子区间上都为常数，把$s$在第$k$个开子区间上取得的常值记为$s_k$ , 从而有 [s...